Lecture 56：幂级数

定义： #幂级数#

描述： 常见形式： $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ 一般形式：$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$

解释

• 概念：
  • 每一项都是 x 的正整数幂：幂级数： $a_{0}a_{1},a_{2}x^{2}\cdots a_{n}x^{n}\cdots$
  • 幂级数其实是函数项级数的最简单的一种，$x^{n}$ 就是 x 的函数，$a_n$ 就是一列数；
  • $a_0,a_1,a_2...a_n$ 称之为系数；
• 补充：
  • 一般研究常见形式，因为一般形式可以用 $x-x_0=t$ 化成常见形式；

定义： #收敛点与发散点#

描述：

1. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 收敛，则称 $x_o$ 为收敛点，如果是一段区间则称之为收敛域；
2. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 发散，则称 $x_o$ 为发散点，如果是一段区间则称之为发散域；
3. $S\left (x\right)=u\left (x\right)+u_{2\left (x\right)}+\cdots+u_{n}\left (x\right)+\cdots$ 称之为和函数，$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S\left(x\right)$；

解释

• 一般就是求两个问题：收敛域是什么？和函数是什么？

举例

• $1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots$
• 此时：
  • $|x|<1\text{时，收敛城(-1,1)}\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-x}$
  • $|\times|\geq1 时，发散域(-\infty,-1)|U[1,+\infty]$

定理： #阿贝尔定理#

描述： $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时收敛,|x|<|x_0|时幂级数绝对收敛$ $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时发散,|x|>|x_0|时幂级数发散$

解释

• 定理的作用：
  • 揭示了当前幂级数的收敛、发散的域的结构 -> 将求收敛域的问题、转化成了求整个区间一般长度的问题 -> 也就是求收敛半径 R ；
• 绝对收敛：
  • 在 $|x|<|x_0|$ 时，此时在这个区间内的点，也都收敛 -> 离原点更近的点收敛；
• 发散：
  • 在 $|x|>|x_0|$ 时，此时在这个区间外的点，也都收敛 -> 离原点更远的点发散；
• 总结：
  • 1. 收敛点和发散点的分界点 -> 就是收敛半径 R
  • 2. 两个级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ ，如果它们的 $a_n$ 一样，则它们有共同的收敛半径 R；
• 注意：
  • 收敛区间不需要关注端点；
  • 收敛域需要关注端点；

补充：收敛区间和收敛域

• 收敛区间：
  • $(-R,+R)$
• 收敛域：
  • 包括端点在内：$\pm R$
  • 分别判断两个端点的值后，得到的区间；

补充：关于 $x$ 不等于 $x_0$ 时的收敛域

• 前提：
  • 根据 <总结-1> 可知，$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ 的收敛半径 R 一样；
• 概念：
  • 收敛区间：
    • 对 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 而言，其中心在 x=-2 点，因此假设其收敛点在 x=0 处时，其收敛半径为 0-(-2)=2 ，因此其收敛区间就是：
    • $收敛区间：(x_0-R,x_0+R)\rightarrow (-2-2,-2+2)\rightarrow (-4,0)$
  • 端点收敛性不变性：
    • 因为两个级数的 $a_n$ 项相同，所以这两个级数的收敛域的两个端点同敛散性；

定理： #幂级数的收敛情况#

描述： 幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 的收敛性有且仅有三种可能： （1）对任何 x 属于 $(-\infty ,+\infty)$ 都收敛； （2）只在 $x=0$ 处收敛； （3）存在一个正数 R 当 $|x| < R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散； 注意：若幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 在点 $x=x_0$ 处条件收敛，则点 $x_0$ 必为该幂级数收敛区间 $(-R,R)$ 的一个端点；

定理： #收敛半径判断#

描述： $若\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho，则 R = \frac{1}{{\rho}}$ 即：此时有三种情况：$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}$

解释

• 注意：
• 1. 此定理只能单方向使用；
• 2. 收敛区间是不管端点的，即 $(-R,R)$

定理： #收敛半径判断：基于根式#

描述： $\text{如果 }\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,\text{则}\quad R=\frac1\rho$

解释

• 基于根值法推导而来；

PART 1：解题方法#

题型：求收敛半径

• 两种方法：
  • 方法一：使用收敛半径判定法
  • 方法二：使用收敛半径根值判定法
• 注意：缺项时
  • 缺项：$x^{2n-1}$ ，不是 $x^n$
  • 缺项时不能直接使用公式，如果是 $x^{2n+b}$ ，则此时都需要将根值法算得的 R 开一个 $\frac{1}{2}$ 次方；

题型：求收敛区间

• 方法：
  • 想要求得收敛区间，需要先求得收敛半径；

题型：求端点的收敛性

• 方法：
  • 分别将端点的 $x=\pm x_0$ 代入进去，得到关于 n 的函数式，即：当前级数的通项。此时解题方法和常数项级数一致，根据其是正项、交错级数、任意项级数，选择方法，判定；

题型：判断任意一点的收敛性

• 方法：
  • 先求出当前幂级数的收敛半径（经常要使用阿贝尔定理），然后根据收敛区间，判断任意一点是否在区间内，即可得到收敛性；

PART 2：典型例题#

例题：求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n-(-1)^n}{n^2}x^n$

PART 3：知识点复盘#

知识点：当幂级数 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^n$ 的 $a_n$ 旁边有 n 时

• 知识点：根据幂级数的逐项求导后、收敛半径不变的性质，可知 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的 R 不变；