Lecture 51：函数展开成幂级数

51.1.1 基本概念#

为什么需要展开成幂级数

• 原因：
  • 有些函数不是初等函数、不可以直接使用积分求出来它的值，比如 $e^{x^2}$ 其无法直接求出其原函数；
  • 此时可以考虑：将其展开成幂级数，因为幂级数的每一项都很简单，因此可以被处理；
• 举例：比如需要求 $e^{0.2}$ 等于多少
  • 直接求很难算出来；
  • 但利用展开后的幂级数，计算出来就很简单： $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+$
  • 后续的项可以近似得到，一般就用个三项、四项就够了；

51.1.2 常用幂级数展开式#

补充：几个常用的展开式

• 直接展开法：
  • （1）$\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots =\sum^{\infty}\limits_{n=0}x^n\quad (-1<x<1)$
  • （2）$\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,|x|<1$
  • （3）$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad(-\infty<x<+\infty)$
    • 注意：求和下标从 0 开始，(-1) 是指数是 n；
  • （4） $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (-\infty<x<+\infty)=\sum^{\infty}\limits_{n=0}\frac{x^n}{n！}$
• 间接展开法：
  • （1）cosx 的展开式，是由 sinx 的展开式逐项求导而的来的：$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad(-\infty<x<+\infty)$
  • （2）In(1+x) 的展开式：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}\quad(-1<x\leq1)$
  • （3）(1+X)的α次方 的展开式，也是间接得到的：$\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots \quad(-1<x<1)$
  • (4) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n=-\ln(1-x)\quad(-1\leq x<1)$
• 注意：
  • 关于下标：除了 In(1+x) 是从 n=1 开始的，其他都是从 n=0 开始的；
  • 关于 $(-1)^{n}$ 和 $(-1)^{n+1}$：只有 In(1+x) 是 n+1 ，其他都是从 n；
  • 关于阶乘：除了 In(1+x) 的分母是非阶乘，其他带分母的都是阶乘，并且阶乘部分和幂指部分一致；
  • 关于收敛域：三角函数和 $e^{x}$ 是负无穷到正无穷，其他都是 -1 到 +1，并且 In(1+x) 是小于等于 +1；

51.1.3 函数展开为幂级数的两种方法#

方法一：直接展开法

• 第一步：算出这一点的 n 阶导数，代入进来，写出它的泰勒级数： $f(x)\sim\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• 第二步：$考察\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=0 是否成立$

方法二：间接展开法

• 原理：
  • 根据函数展开为幂级数的唯一性，可知可以从某些已知函数展开式出发，利用幂级数的性质 (四则运算，逐项求导，逐项积分)及变量代换等方法，求得所给函数的展开式；

题型： #将函数展开为幂级数#

题型： #级数求和#