Lecture 3：行列式的计算

3.1.1 化为基本型#

3.1.2 递推法#

概念：递推法和归纳法

• 关系：
  • 递推法和归纳法是两种不同的方向；
  • 递推法是从 n 阶开始往下推，推到 n-1、n-2
  • 归纳法是从 1 阶开始找到规律、往上推，推到 n-1、n
• 基本思路：
  • 1. 元素的分布规律相同；
  • 2. $D_{n-1}$ 比 $D_n$ 少一阶；

举例：宽对角行列式

• 行列式：递推
  • $D_4=\begin{vmatrix}1-a&a&0&0\\-1&1-a&a&0\\0&-1&1-a&a\\0&0&-1&1-a\end{vmatrix}=(-1)^{4+1}\cdot(-a)\cdot a^{3}+D_{3}=a^{4}+\left(-a^{3}\right)+D_{2}=a^{4}+(-a^{3})+a^{2}+D_{1}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a+1$
• 分析：
  • 其中上述 $D_4$ 是计算余子式；
  • 上面也可以使用归纳法

3.1.3 行列式表示的函数和方程#

补充：这类问题的行列式元素 $a_{ij}$ 往往不是具体数值，而是含 $x$ 或 $\lambda$ 等的函数，可能会在计算之外给考生带来新的困难和麻烦，自然也会给命题人带来新的角度，需要重视对此类问题的研究；

举例

• 题目：$设f\left(x\right)=\begin{vmatrix}1&0&x\\1&2&x^{2}\\1&3&x^{3}\end{vmatrix},求f\left(x+1\right)-f\left(x\right)$
• 分析：$f(x+1)-f(x)=\left|\begin{matrix}1&0&x+1\\1&2&(x+1)^{2}\\1&3&(x+1)^{3}\end{matrix}\right|-\left|\begin{matrix}1&0&x\\1&2&x^{4}\\1&3&x^{3}\end{matrix}\right|=\left.\left|\begin{matrix}1&0&1\\1&2&2x+1\\1&3&3x^{2}+3x+1\end{matrix}\right.\right|=\left|\begin{matrix}1&0&0\\1&2&0\\1&3&3x^{2}\end{matrix}\right|=6x^2$

举例

• 题目：$设方程\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&3\\1&\lambda-4&3\\-1&a&\lambda-5\end{vmatrix}=0有二重根，求参数a的值$
• 分析：这是一个关于 $f(\lambda)$ 的表达式，且因为主对角线上有 $\lambda$，所以肯定有一个关于 $\lambda$ 的三次方
• 解析：
  • 求行列式： $f\left(\lambda\right)=\left|\begin{matrix}\lambda-2&-\lambda+2&0\\1&\lambda-4&3\\-1&a&\lambda-5\end{matrix}\right|=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\1&\lambda-3&3\\-1&a-1&\lambda-5\end{vmatrix}=\left(\lambda-2\right)\left|\begin{matrix}\lambda-3&3\\a-1&\lambda-5\end{matrix}\right|=(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)=0$
  • 讨论二重根：在 $(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)=0$ 种
    • 1. 如果 $\lambda =2$ 是二重根：$(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)|_{\lambda=2}=0$ -> $4-16+18-39=0$，所以 a=2
    • 2. 如果 $\lambda =2$ 不是二重根：讨论 $\Delta=0$ ，求出 $a=\frac{2}{3}$ 所以 $\lambda =4$

3.2.1 抽象型：一般方法 - 利用性质凑#

例题：$\text{已知4阶行列式}|\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta|=a,|\beta+\gamma,\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{1}|=b,则|\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{1},\alpha_{3},\gamma|=$

• 分析：什么是抽象型：其中的元素是抽象的符号，不知道其具体的值；
• 解析：如何求
  • 从抽象的行求抽象的行；
  • 利用行列式计算的性质，凑出来目标；

3.2.2 抽象性：点积法#

核心：凑出来两个方的矩阵相乘，行列式就等于 $|AB|=|A||B|$

例题：$设\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3均为3维列向量,已知$：$A=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}],B=[\alpha_{1}-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+3\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}],\text{且}|A|=2,\text{则}|B-A|=$

• 知识点
  • 虽然其中的 $\alpha_1$ 是一个三维向量，但是只要是用一个符号 $\alpha_1$ 来表示它，此时它就作为一个整体而存在 -> 本质上它是一个分块阵，只要一个矩阵分成一个分块阵，此时这个分块阵就把其当成元素来看待；
  • 结论：分块阵当作元素进行计算；
• 解析
  • $B-A=(-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-2\alpha_{3})$
    • $(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right) \leftarrow (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0\\-1\\2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\\-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\end{matrix}\right)$
  • 其中的 $(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ 为基准，因此计算其基于基准的表示：
    • $0\alpha_{1}-\alpha_{2}+2\alpha_{3}=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}]\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3}=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}]\begin{bmatrix}2\\2\\-5\end{bmatrix},a_{1}+2a_{2}-2a_{3}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]\left[\begin{matrix}1\\2\\-2\end{matrix}\right]$
  • 得到： $B-A=(-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-2\alpha_{3})$ d 的计算结果就是：$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right)$
    • 所以 $|B-A|=|A|\left|\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right|$
  • 计算结果： $|B-A|=|A|\left|\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right|=2*5=10$

3.2.3 余子式和代数余子式的线性组合计算#

定理： #克拉默法则#

描述：对个方程 n 个未知数 (这是前提)的非齐次线性方程组：$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n},\end{cases}$ 若系数行列式 $D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0$ 则方程组右唯一解，且解为：$x_{i}=\frac{D_{i}}{D},i=1,2,\cdots,n$，其中 $D_i\text{是由常数项}b_1,b_2,\cdots,b_n\text{替换}D\text{ 中第 }i\text{列元素得到的行列式}$

解释

• 要求：
  • 必须得是方形的矩阵，而且对系数有要求，所以难用；
• 举例：
  • $\begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=2\\0x_{1}+x_{2}+0x_{3}=5\end{cases}$
  • 若行列式：$|A|=|\begin{smallmatrix}1&-2&1\\0&0&0\\1&0\end{smallmatrix}|\neq0$ 不等于 0，则其解为 $x_{i}=\frac{D_{i}}{D},i=1,2,\cdots,n$
  • 则 $x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{\left|\begin{matrix}1&-2&1\\2&0&0\\5&1&0\end{matrix}\right|}{1}$ （第一列换成自由项，第二列第三列不变）
  • 算 $x_2$ 也类似，把第二列换成自由项；同理第三列；
  • 所以 $x_1x_2x_3$ 分别为 2、5、9
• 作用：
  • 克拉默法则提供了一个流程化的解法；

定理： #齐次时克拉默法则#

描述：齐次时：$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=0,\end{cases}$ $若D\neq0,则齐次方程组只有零解;若D=0,则齐次方程组有非零解$

解释