Lecture 5：矩阵的逆

5.1 逆矩阵的定义#

5.2 逆矩阵的性质和重要公式#

性质：逆矩阵的性质

• 1. $(A^{-1})^{-1}=A$
• 2. 若 k 不等于 0，则 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
  • 转置矩阵时：$(kA)^T=kA^T$
  • 转置矩阵时：$|kA|=k^n|A|$
• 3. AB 也可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• 4. $A^{\mathrm{T}}\text{也可逆,且}(A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}$
• 5. $\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$
  • 因为：$|A^{-1}A|=|E|\rightarrow|E|=|A^{-1}||A|$ 即：$|A^{-1}|$ 和 $|A|$ 互为倒数；

注意：$A+B\text{不一定可逆,且}\left(A+B\right)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$

• $\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$
• $\vert A+B\vert$ 不等于 $\vert A\vert+\vert B\vert$

补充：逆矩阵与分块矩阵结论

• $\left.\left(\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right.\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}a&-1&0\\0&b^{-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A&0\\0&B\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}A&-1&0\\0&B^{-1}\end{matrix}\right)\\\left(\begin{matrix}0&a\\b&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&b^{-1}\\a^{-1}&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&A\\B&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0\end{matrix}\right)$

5.3 用定义法求可逆矩阵的逆矩阵#