Lecture 6：伴随矩阵

6.1 伴随矩阵的定义#

6.2 伴随矩阵的性质与公式#

概念：运算总结

• 运算就是四种：行列式、求逆、求转置、求伴随；
• 下面的性质就是这几种性质的互相使用、结合、交换；

性质一：对任意 $n$ 阶方阵 $A$, 都有伴随矩阵 A $^{*}$,且有公式: $AA^{*}=A^{*}A=\left|A\right|E,\left|A^{*}\right|=\left|A\right|^{n-1}$

性质二：$当|A|\neq0时A^{*}=\left|A\right|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*},A=\left|A\right|\left(A^{*}\right)^{-1};$

• 前提：A 的测度为 0；
• 先求行列式，再求伴随矩阵，再求 $\frac{1}{{|A|}}A^*$

性质三：$(kA)(kA)^{*}=\left|kA\right|E$

性质四：$(A^T)^*=(A^*)^T$

性质五：$A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{*}=\left|A^{-1}\right|E$

性质六：$A^*\left(A^*\right)^*=\left|A^*\right|E$

• 原因：$\left(A^*\right)^*=|A|^{n-2}A$

性质七：（穿脱原则）$\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}$

补充：关于数乘的交换

• $\begin{aligned}&|kA|=k^{n}|A|\\&(kA)^{T}=kA^{T}\\&(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\\&(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}\end{aligned}$

补充：总结 - 运算的自运算

• $\begin{aligned}&|A^{-1}|=|A|^{-1}&&(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\\&(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}&&|A^{*}|=|A|^{n-1}\\&|A^{T}|=|A|^{T}\\&(A^{*})^{T}=(A^{T})^{*}\end{aligned}$

补充：总结 - 运算的叠加

• $\begin{aligned}&||A||=|A|\\&(A^{T})^{T}=A\\&(A^{-1})^{-1}=A\\&(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A\end{aligned}$ 补充：穿脱原则
• $\begin{aligned}&|AB|=|B||A|\\&(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\\&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\&(AB)^{*}=B^{*}A^{*}\end{aligned}$
• 注意：$\left(A+B\right)^{*}\neq A^{*}+B^{*}$
• 其他：$\begin{aligned}&|A+B|\neq|A|+|B|\\&(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}\\&(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\end{aligned}$

6.3 用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵#

6.4 求伴随矩阵的方法#

方法一：定义法。先求 $A_{ij}$ ，再拼成 $A^*$

方法二：用公式；若 A 可逆，则 $A^*=|A|A^{-1}$

• 遇到和伴随矩阵相关的计算时，先考虑一下有没有公式、化简一下，对公式进行一些运算，然后再开始计算；