Lecture 15：齐次线性方程组

定义： #齐次方程#

描述：如果将函数的所有自变量乘以一个非零因子，此时因变量相当于原函数乘以这个非零因子的幂，则称此函数为齐次函数。即需满足关系: $f\left(tx_{1},tx_{2},tx_{3},\cdots,tx_{n}\right)=t^{k}f\left(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\right),t\neq0$

解释

• 举例：$f(x,y)=\frac{x^{2}-2xy}{xy+3y^{2}}$
  • 其是一个零次齐次方程；

定义： #非齐次线性方程组#

描述： 非齐次线性方程组： $\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}$ 该方程组的系数矩阵就是若干个列向量拼成的：$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$ 其增广矩阵就是系数矩阵再添加一个列向量拼成的：$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}$

解释

• 概念：
  • 该方程组的未知数就是向量组中各成员的系数；
  • $x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n}=\beta$
  • 其中：$a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix},j=1,2,\cdots,n,\beta=\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{m}\end{bmatrix}$
• 解释：
  • 所以从本质上说，方程组问题就是向量组问题，方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式，其本质一样，所以解决方法也一样；

定义： #齐次线性方程组#

描述： $\\\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\\cdots\cdots\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0\end{cases}$

解释

• 向量形式：
  • $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n}=0$
  • 即：全部都线性无关；
• 其中： $a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix},j=1,2,\cdots,n$
• 其矩阵形式为：$A_{m\times n}x=0$
• 其中：
  • $A_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},x=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}$

概念：线性方程的解与向量的关系

• 方程组的解，就是描述列向量组中各向量之间数量关系的系数

定义： #基础解系#

描述：基础解系：$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 满足以下三个条件 <- 对于 r(A)<n 的情况：

1. 是方程组 AX=0 的解；
2. 线性无关；
3. 方程组 AX=0 的任一解均可由 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 线性表示 则称 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n-r}$ 位 AX=0 的基础解系；

解释

• 作用：基础解系代表受到真实约束后的解的空间（S=n-r(A)）；

定义： #通解#

描述： $\text{设}\quad\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\quad\text{是}Ax=0\text{ 的基础解系,则}\quad{k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}\quad\text{是方程组}Ax=0\text{ 的通解,}}其中k为任意常数.$

解释

• 基础解系的线性组合可以表达解空间中的所有向量，因此可以用 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$ 表示；
• 其中的系数就是其在坐标系中的坐标；