Lecture 16：非齐次线性方程组

16.1.1 基础概念#

16.1.2 非齐次线性方程组#

概念：有解的条件

• 若 $r\left(A\right)\neq r\left(\left[A,b\right]\right)\quad\left(\boldsymbol{b}\text{ 不能由 }\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\text{线性表示 }\right)\quad$，则方程组 (II)无解；
  • -> 增加了一个向量组 b（列）后，使得矩阵升了一维，即标识向量组 b 和 A 中其他向量组线性无关；
  • -> b 不在 A 的解空间当中；
  • -> 所以加了 b 之后方程组无解；
• 若 $r\left(A\right)=r\left(\left[A,b\right]\right)=n\quad\left(\text{即}a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\text{线性无关，}a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b\text{线性相关 }\right)\quad$，则方程组 (II)有唯一解；
  • -> 列数，即向量组个数等于秩数，因此方程组满秩；
  • -> 没有多余自由的自由度，因此只有唯一解；
• 若 $r\left(A\right)=r\left(\left[A,b\right]\right)=r<n\quad$，则方程组 (II)有无穷多解.
  • -> 自由度 > 真实约束的个数，所以有无穷多解；

概念：解的性质

• $\text{设}\eta_1,\eta_2,\eta\text{ 是非齐次线性方程组}Ax=b\text{ 的解},\xi\text{是对应齐次线性方程组 }Ax=0\text{ 的解,则:}$
• ${(1) }\eta_1-\eta_2$ 是 Ax=0 的解 -> 任意的两个非齐次的特解的差，一定是齐次的解；
• $(2)k\xi+\eta 是Ax=b$ 的解 -> $k\xi+\eta$ 是非齐次的解；