Lecture 19：特征值与特征向量

19.1.1 基本概念#

19.1.2 几何解释#

概念：特征值与特征向量的几何解释

• 概念：
  • 在基向量被变换后，有一些解变换后以及变换前只对应于比例的变换，而角度位置未发生改变；
  • 用于描述特征向量的变换比例的值，称之为特征值；
  • 特征向量就是那些在变换后、依然停留在原本的直线上的向量；
• 图示：

  • 

概念：特征值为负值时

• 图示：

  • 

19.2.1 求特征值与特征向量的方法#

方法：求特征值

• 第一步：写特征方程 $|\lambda E-A|$
  • $A=\begin{bmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{bmatrix}$
  • $|\lambda E-A|=\left|\begin{matrix}\lambda-2&-2&2\\-2&\lambda-5&4\\2&4&\lambda-5\end{matrix}\right|$
• 第二步：计算特征方程的行列式，得到关于 $\lambda$ 的方程；
  • 最后肯定会得到一个类似于 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 的方程，然后化成求根的形式；
• 第三步：求出几个特征根；

方法：求特征向量

• 第一步：将求得的特征值带入到 $(\lambda E-A)=0$ 的 $\lambda$ 当中，得到 $\lambda E-A$ 的矩阵；
• 第二步：求秩以及基础解系
  • 2.1 将得到的矩阵化为阶梯型矩阵，得到秩后，根据 S=n-r(A)，计算其基础解系（受约束自由变量的 S 个向量）；
    • 这 S 个解出来的向量，构成了解的空间，这个二维平面上的所有向量、都是当前代入得 $\lambda_i$ 对应得特征向量；
    • 除了零向量；
  • 2.2 如果不能根据化简得到阶梯型矩阵，还可以根据 行列式=0 对秩得限制、以及当前矩阵 $\lambda E-A$ 中无关项向量得个数，知道其当前得秩，并得到其极大无关组；
• 第三步：根据第二步，得到当前 $\lambda=某个值$ 时，得到 $\xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2$
  • 其中看 k1、k2 不能同时为 0；
• 第四步：如果还有其他 $\lambda_i$，继续按照以上步骤求特征向量 $\xi$；

19.2.2 求根#

补充：找根方法

• 如果在 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 当中没有常数项，则 $\lambda=0$ 肯定是它得根；
• 如果 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 其中，$a+b+c=0$，则 $\lambda =1$ 肯定是它们得根： $(\lambda -1)$
• 如果 $\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0$ 中偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 $f(-1)=0$，所以 $-1$ 是它的根；

方法：试根法

• 概念：
  • 利用找根方法得到某一个根之和，使用多项式得带余除法，计算器二次项式；
• 举例：
  • $$$$

\lambda^{2}-2\lambda-8 \ \begin{aligned}\lambda-1\sqrt{\lambda^{3}-3\lambda^{2}-6\lambda+8}\\frac{\lambda^{3}-\lambda^{2}}{-2\lambda^{2}-6\lambda}\end{aligned} \text{.} \ \frac{-2\lambda^{2}+2\lambda}{-8\lambda+8} \ \frac{-8\lambda+8}{0} \end{aligned}$$

19.3.1 特征值的性质与结论#

概念：性质一

• $\lambda_0是A的特征值<=>|\lambda_0 E-A|=0(建立方程求参数或证明行列式|\lambda_0 E-A|=0$
• 同理：$\lambda_0\text{不是}A\text{ 的特征值}\Leftrightarrow|\lambda_0E-A|\neq0\text{(矩阵可逆,满秩)}$
• 补充：
  • 若 $|aA+bE|=0$（或者 $aA+bE$ 不可逆），a 不等于 0，则称 $-\frac{b}{a}$ 是 A 的特征值；

概念：性质二

• 性质：
  • 若 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\text{是}A\text{的}n\text{个特征值,则}$：
  • $\begin{cases}\left|A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n},\\\mathrm{tr}\left(A\right)=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}.\end{cases}$
• 结论一：
  • 1. 有特征值为 0 的矩阵，其行列式一定为 0
  • 2. $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}$ 特征值的和，等于当前矩阵 A 的主对角线元素之和 tr(A)
• 结论二：基于结论一和证明
  • 由式子（1）和式子（2）可得：
  • $\begin{cases}a_{11}+a_{22}+a_{33}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3},\\A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{1}\lambda_{2},\\\left|A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}.\end{cases}$
  • 且 k 阶主子式之和 = 任意 k 个特征值乘积之和；
• 证明：三阶时，用行列式的性质、把 $|\lambda_0 E-A|$ 拆成了一个一元三次多项式；
  • $式子(1)\quad|\lambda_0 E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}=\lambda^{3}-\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right)\lambda^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right)\lambda-\left|A\right|$
  • $式子(2)\quad\left|\lambda E-A\right|=\left(\lambda-\lambda_1\right)\left(\lambda-\lambda_2\right)\left(\lambda-\lambda_3\right)=\lambda^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)\lambda-\lambda_1\lambda_2\lambda_3$
• 补充：主子式
  • 主子式一定是行列式，并且最左上方和最右下方的元素的下标一定是相同的 <- 同行同列的；
  • 三维时，一共有三个主子式：$\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=A_{11},\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}=A_{22},\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=A_{33}$

19.3.2 特征向量的性质与结论#

概念：性质一

• $\xi\left(\neq\mathbf{0}\right)\text{是}A\text{ 的属于 }\lambda_0\text{ 的特征向量}\Leftrightarrow\xi\text{是}\left(\lambda_0E-A\right)x=\mathbf{0}\text{ 的非零解}$

概念：结论一

• k 重特征值 $\lambda$，至多只有 k 个线性无关的特征向量；

概念：结论二

• $若\xi_1,\xi_2$ 是 A 的属于不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量，则 $\lambda_1,\lambda_2$ 线性无关；

总结：$\text{矩阵}A\begin{cases}\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\Rightarrow\xi_{1},\xi_{2}\text{线性无关}\\\lambda_{1}=\lambda_{2}\Rightarrow\xi_{1},\xi_{2}\text{可能}\begin{cases}\text{线性相关}\\\text{线性无关}\end{cases}\end{cases}$

概念：结论三

• $\text{若}\xi_1,\xi,\text{是}A\text{ 的属于同一特征值}\lambda\text{的特征向量,则非零向量}k\xi_1+k_2\xi_2\text{仍是}A\text{ 的属于特征值}\lambda\text{的}$ 特征向量. (常考其中一个系数 (如 $k_2$)等于 0 的情形)；

概念：结论四

• $\text{若}\xi_1,\xi_2\text{是}A\text{ 的属于不同特征值}\lambda_1,\lambda_2\text{的特征向量,则当}k_1\neq0,k_2\neq0\text{时,}k_1\xi_1+k_2\xi_2\text{不是}A\text{ }$ 的任何特征值的特征向量. ( 常考 $k_1=k_2=1$ 的情形)

概念：结论五

• 设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是 A 的两个不同的特征值，$\xi$ 是对应于 $\lambda_1$ 的特征向量，则 $\xi$ 不是对应于 $\lambda_2$ 的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）

19.3.3 常用矩阵的特征值与特征向量#

总结：常用矩阵的特征值与特征向量

• 图示：

  • 

概念：矩阵为 $f(A)$

• 重要公式 - 当 A 是一个多项式等于 0
• 公式：
  • $A\xi=\lambda \xi \rightarrow f(A)\xi=f(\lambda)\xi$
• 证明：
  • 比如：$A^2\xi=\lambda A\xi=\lambda^2\xi$
• 举例：
  • 当 $A^2-2A+3E$ 的 $\lambda$：$\lambda^2-2\lambda+3$
• 注意：
  • 由 $A$ 的多项式，获得的关于 $\lambda$ 的方程，只是代表了在当前 A 的多项式条件下、$\lambda$ 可能的取值（满足什么关系、范围 ），而不代表当前特征方程的不同 $\lambda$；

概念：矩阵为 $A^*$

• 公式：
  • 当矩阵为 $A^*$ 时，其特征值等于 $\frac{|A|}{\lambda}$；
  • 并且因为 $|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$，所以 $\frac{|A|}{\lambda}=\lambda_1\lambda_2或\lambda_1\lambda_3或\lambda_2\lambda_3$

补充：$P^{-1}AP$ 时，其特征值没发生变化 -> 相似；但特征向量发生了变化：$P^{-1}\xi$；

概念：秩 1 矩阵的结论

• 当 r(A)=1 时，矩阵 $A_{n*n}$ 一定可以化为两个非零行列向量：$\alpha\beta^{T}$ 它们两者的乘积；
• 并且：$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=...=\lambda_{n-1}=0$
• 并且：$\lambda_n=tr(A)=\beta^T\alpha$