Lecture 20：相似

20.1.1 相似矩阵的定义#

20.1.2 相似矩阵的性质#

概念：相似矩阵的六大性质

&{1}.\quad\left|A\right|=\left|B\right| \ &{2}.\quad r\left(A\right)=r\left(B\right). \ &{3}.\quad tr\left(A\right)=tr\left(B\right). \ &{4}.\quad\lambda_{A}=\lambda_{B}\left(或\left|\lambda E-A\right|=\left|\lambda E-B\right|\right). \ &{5}.\quad r\left(\lambda E-A\right)=r\left(\lambda E-B\right). \ &{6}.\quad A,B的各阶主子式之和分别相等。 \end{aligned}$$

• 注意：
  • 以上六条条件是矩阵相似的必要条件，只要其中一个不满足，则两个矩阵不相似；
  • 但是，即使 1~6 全成立，也不能说 A 相似于 B；
• 补充：
  • 概念：
    • 在进行相似变换时，其不变量是”各阶主子式之和”；
  • 举例：
    • $A=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}$，其二阶主子式之和为 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=1+1+1=3$
    • $B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}$，其二阶主子式之和为 $\widetilde{A}_{11}+\widetilde{A}_{22}+\widetilde{A}_{33}=1+2+1=4$
    • 故 A 和 B 不相似；

20.1.3 相似矩阵的重要结论#

概念：结论一

• $若A\sim B,则A^{k}\sim B^{k},f\left(A\right)\sim f\left(B\right)\left(\text{其中}f\left(x\right)\text{是多项式}\right)$

概念：结论二

• $若A\sim B,且A可逆,则A^{-1}\sim B^{-1},f\left(A^{-1}\right)\sim f\left(B^{-1}\right)\left(\text{其中}f\left(x\right)\text{是多项式}\right)$

概念：结论三

• $若A\sim B,且A可逆,则A^*\sim B^*$

概念：结论四

• $若A\sim B,且A可逆,则A^T\sim B^T$

概念：结论五

• $若A\sim C,B\sim D,则\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix}$

分析：结论 1~3

• 因为从 A -> B 的手段，在 1~3 当中是一致的，所以它们的组合：$aA^{*}+bA^{-1}+cf\left(A\right)$ 加上 $P^{-1}$ 和 $P$ 后：
• $P^{-1}(aA^{*}+bA^{-1}+cf\left(A\right))P=aB^{*}+bB^{-1}+cf\left(B\right)$

分析：结论 4

• $A\sim B,则存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B,两边取转置,有P^TA^T(P^{-1})^T=B^T$
• $P^{T}A^{T}\left(P^{T}\right)^{-1}=B^{T},故A^{T}\sim B^{T}.由此可知，$ $A^{\mathrm{T}}与B^{T}相似的手段与(1)\sim(3)不同.$

20.1.4 两个矩阵相似的判别与证明#

方法：定义法

• $\text{若存在可逆矩阵}P,\text{使得}P^{-1}AP=B,\text{则}A\sim B.$

方法：利用传递性

• 若 A~V，V~B，则 A~B

方法：使用性质

• 使用性质只能否定 A、B 的相似性，不能证明其相似；
• 补充：
  • 可在 AB 的条件下, 用性质反求参数, 但如前所述, 所有的性质都只是 AB 的必要条件

20.2.1 基础概念#

20.2.2 相似对角化的求解#

方法：基于 $P^{-1}AP=\Lambda$，求 P 步骤

• 步骤：
  • 1. 因为 $|\lambda E-A|=0$ ，写出行列式 $|\lambda E-A|$，求出 $A$ 的 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,...\lambda_i$
  • 2. 求：对应的 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,...\lambda_i$ 下时，A 的阶梯型矩阵，并由此求出 A 的特征向量 $\xi_1,\xi_2...\xi_i$
  • 3. 根据特征向量与特征值的性质，判断当前特征向量是否是 n 个线性无关的向量，如果是的话，把解出的 $\xi_i$ 拼在一起得到 $P$：
    • $P^{-1}AP=\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&&\\&\lambda_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$
• 注意：
  • $\text{需要注意的是,}P\text{中特征向量}\boldsymbol{\xi}_i\text{与}A\text{中特征值}\lambda_i\text{对应,且}P\text{没有唯一性 }.$

方法：由特征值、特征向量反求 $A$

• 方法：
  • $\text{若有可逆矩阵}P\text{,使得}P^{-1}AP=A\text{,则}A=PAP^{-1}\text{,这是反求}A\text{ 的一个基本思路 }.$
• 举例：
  • -> $(\xi_{1},\xi_{2})^{-1}A(\xi_{1},\xi_{2})=(\begin{matrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{matrix})$
  • -> $A=(\xi_{1},\xi_{2})(\begin{matrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{matrix})(\xi_{1},\xi_{2})^{-1}$

方法：求 $A^k$ 和 $f(A)$

• -> $P^{-1}A^kP=A^k, A^k=PA^kP^{-1}=P\begin{bmatrix}\lambda_1^k&&&&\\&\lambda_2^k&&&\\&&\ddots&&\\&&&\lambda_n^k\end{bmatrix}P^{-1}$
• -> $P^{-1}f(A)P=f(A), f(A)=Pf(A)P^{-1}=P\begin{bmatrix}f(\lambda_1)&&&\\&f(\lambda_2)&&\\&&\ddots&\\&&&f(\lambda_n)\end{bmatrix}P^{-1}.$

补充：在可逆矩阵中使用不可逆矩阵的性质

• 若 $|A|=0\rightarrow|0·E+A=0|\rightarrow\lambda_1=0\quad(至少一个)\rightarrow A不可逆$
  • $|A^{*}|\rightarrow |A|^{n-1}$ 这个是由 $A^{-1}$ 存在而推出来的；
• 其他：
  • $|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 的前提是 A 可逆；
  • 的前提是 A 可逆；$\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}$ 的前提是 A,B 可逆；
• 不可逆时：
  • 假设 A 有三重根，一个特征值 1；
  • 如果现在在 A 前面加上 E：+E+A；
  • 所以：$|(tE+A)^{*}|=|tE+A|^{n-1}.$
  • 当 $t\rightarrow 0^+$，原来的 t 特征值一定不 0，都是关于 t 的连续函数 -> $|A^{*}|=|A|^{n-1}$；
• 即：$|A^{*}|=|A|^{n-1}$ 对于可逆、不可逆都是成立的；

20.2.3 举例#

例题：一下选项中哪些不能相似于对角矩阵：

• 题目：
  • $\begin{aligned}\left(A\right)A=&\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}&(\mathbf{B}) \boldsymbol{B}=&\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{bmatrix}\\(\mathbf{C})\boldsymbol{C}=&\begin{bmatrix}1&-2&1\\2&-4&2\\1&-2&1\end{bmatrix}&(\mathbf{D})\boldsymbol{D}=&\begin{bmatrix}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{bmatrix}\end{aligned}$
• 分析
  • A 很明显对称，所以 A 相似于对角矩阵；
  • B 有明显的台阶，并且刚好是三个互不相同的特征值，所以如果三个单根分别对应特征值，所以一定相似对角化；
  • C 是一个秩一矩阵，所以一个两重跟，一个单根，需要分别判断他们对应的特征向量个数。而 C 选项的重根数等于其线性无关特征向量个数，所以 C 相似于对角矩阵；
• 解析

20.3.1 实对称矩阵#

20.3.2 实对称矩阵相似对角化基本步骤#

方法：若 A 为 n 阶实对称矩阵，则其用正交矩阵 Q 相似对角化的基本步骤如下：

• $\begin{aligned}&\left(1\right)\text{求}A\text{的特征值}\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n.\\&\left(2\right)\text{求}A\text{的对应于特征值}\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\text{的特征向量}\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n.\\&\left(3\right)\text{将}\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}\text{正交化(若需要的话)、单位化为}\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n}.\\&\left(4\right)\text{令}Q=\left[\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n}\right],\text{则}Q\text{为正交矩阵,且}Q^{-1}AQ=Q^{\mathrm{T}}AQ=A\end{aligned}$