Lecture 23：正定二次型

定义： #正定二次型#

描述： $n\text{元二次型}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx.\text{若对任意的}x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\neq0,\text{均有}x^TAx>0,\text{则称}f为正定二次型$ 称二次型的对应矩阵 $A$ 为正定矩阵；

解释

• 解释：几何理解
  • 比如在二元情况下，在二维坐标系下，正定就是抛面；

定理： #正定二次型的充要条件#

描述： $n$ 元二次型 $f=x^\mathrm{T}Ax$ 正定 $\Leftrightarrow$ 对任意 $x\neq0$,有 $x^\mathrm{T}Ax>0(定义)$
$\Leftrightarrow f$ 的正惯性指数 $p=n$ $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $D$,使 $A=D^TD$ $\Leftrightarrow A=E$ $\Leftrightarrow A$ 的特征值 $\lambda_i>0\left(i=1,2,\cdots,n\right)$ $\Leftrightarrow A$ 的全部顺序主子式均大于 $0$

解释

• 顺序主子式：
  • 一定是主子式，是主子式的一种；
  • 开头一定是 $a_{11}$，结尾一定是 $a_{kk}$
  • $\begin{vmatrix}A_{k}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$

定理： #二次型正定的必要条件#

描述： $\begin{aligned}&\left(1\right)a_{ii}>0\left(i=1,2,\cdots,n\right).\\&\left(2\right)\left|A\right|>0 .\end{aligned}$