反函数专项笔记

1. 反函数存在的充分条件#

若函数 $y=f(x)$ 在定义域 $D$ 上严格单调递增 / 递减，则必存在唯一反函数。

考研中默认考察严格单调函数，解题第一步先验证单调性，同时为求值域做铺垫。

2. 定义域与值域的互换规则#

设原函数 $y=f(x)$：

• 原函数：定义域为 $D$，值域为 $R$

• 反函数：$x=f^{-1}(y)$，定义域为 $R$，值域为 $D$

• 标准写法：交换自变量符号后写为 $y=f^{-1}(x)$，**定义域仍为原函数的值域 **$R$

核心原则：反函数的定义域 ≠ 反函数表达式的自然定义域，必须严格等于原函数的值域。

3. 反函数核心恒等式#

$f\left(f^{-1}(x)\right) = x, \quad f^{-1}\left(f(x)\right) = x$ 该恒等式是反函数导数、积分公式的推导基础，也是验证反函数正确性的标准。

4. 基本性质#

• 单调性：若原函数严格单调递增（减），则反函数也严格单调递增（减）。

• 奇偶性：若奇函数存在反函数，则其反函数仍为奇函数。

• 图像性质：$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。

通用解题四步#

1. 定域判单调：确定原函数定义域，判断严格单调性，确认反函数存在；

2. 求原函数值域：得到反函数的定义域；

3. 反解自变量：从 $y=f(x)$ 出发，通过代数变形解出 $x=f^{-1}(y)$；

4. 换元写标准：交换 $x,y$，写出 $y=f^{-1}(x)$ 并标注定义域。

1. 多项式 / 分式型#

解法：直接代数变形反解，根据原定义域取舍增根。 例题：求 $y = x^2,\ x\in(-\infty,0]$ 的反函数

• 定义域 $(-\infty,0]$，函数严格递减，存在反函数；

• 值域：$x\leq0$ 时 $y\geq0$，即值域 $[0,+\infty)$；

• 反解：$x=\pm\sqrt{y}$，结合原定义域 $x\leq0$，取 $x=-\sqrt{y}$；

• 反函数：$\boldsymbol{y = -\sqrt{x}}$，定义域 $\boldsymbol{[0,+\infty)}$。

2. 指数 / 对数型#

解法：利用指数与对数的互逆性去括号，逐步分离自变量。 例题：求 $y = \frac{e^x}{e^x + 1}$ 的反函数

• 定义域 $\mathbb{R}$，$y'=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$，严格递增；

• 值域：$y = 1-\frac{1}{e^x+1}$，得 $0<y<1$，值域 $(0,1)$；

• 反解： $y(e^x+1)=e^x \implies e^x=\frac{y}{1-y} \implies x = \ln\frac{y}{1-y}$

• 反函数：$\boldsymbol{y = \ln\frac{x}{1-x}}$，定义域 $\boldsymbol{(0,1)}$。

3. 无理根式型（核心技巧：共轭有理化）#

遇到 $x+\sqrt{x^2+a^2}$ 形式，取倒数即可自动得到共轭式，联立消去根号，比移项平方更简便且无增根。 经典例题：求 $y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 的反函数

• 定义域 $\mathbb{R}$，严格递增，值域 $\mathbb{R}$；

• 去对数：$e^y = x + \sqrt{x^2+1}$

• 取倒数有理化：$e^{-y} = \sqrt{x^2+1} - x$

• 两式相减消根号：$e^y - e^{-y} = 2x \implies x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

• 反函数：$\boldsymbol{y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}$（双曲正弦 $\sinh x$），定义域 $\boldsymbol{\mathbb{R}}$。

4. 分段函数型#

解法：分段求解、值域对应，确保各段值域无重叠。 例题：求 f\(x\)=\\begin\{cases\} x^2, \& 0\\leq x\\leq 1 \\\\ 2^x, \& 1\< x\< \+\\infty \\end\{cases\} 的反函数

• 第一段：$x\in[0,1]$，值域 $[0,1]$，反解为 $x=\sqrt{y}$；

• 第二段：$x\in(1,+\infty)$，值域 $(2,+\infty)$，反解为 $x=\log_2 y$；

• 反函数：

1. 一阶导数公式#

设 $y=f(x)$ 严格单调、可导，且 $f'(x)\neq0$，则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数： $\boldsymbol{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}}$ 写为 $y=f^{-1}(x)$ 形式： $\left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$

2. 二阶导数公式（链式法则推导，不建议死记）#

3. 主流考法：求反函数在指定点的导数值#

核心技巧：无需先求完整反函数，利用 $f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$ 直接代值。 例题：设 $f(x) = x^3 + x$，求 $[f^{-1}(2)]'$

1. 找对应点：令 $x^3+x=2$，得 $x=1$，即 $f(1)=2$，故 $f^{-1}(2)=1$；

2. 求原函数导数：$f'(x)=3x^2+1$，代入得 $f'(1)=4$；

3. 代入公式：$[f^{-1}(2)]' = \frac{1}{f'(1)} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}$。

4. 次考法：求反函数二阶导函数#

例题：设 $y = x - \sin x$，求反函数的二阶导数 $\frac{d^2x}{dy^2}$

• 一阶导：$\frac{dy}{dx} = 1 - \cos x$，故 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1-\cos x}$；

• 二阶导：$y'' = \sin x$，代入公式得 $\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\sin x}{(1-\cos x)^3}$

积分公式（分部积分推导）#

设 $f(x)$ 连续且严格单调，$f(a)=c,\ f(b)=d$，则： $\boldsymbol{\int_c^d f^{-1}(x)dx = b d - a c - \int_a^b f(x)dx}$ 几何意义：反函数积分 = 矩形面积差 - 原函数积分。

例题：已知 $f(x)=x^2$，$x\in[0,2]$，求 $\int_0^4 f^{-1}(x)dx$

• $f(0)=0,\ f(2)=4$，代入公式： $\int_0^4 f^{-1}(x)dx = 2\times4 - 0\times0 - \int_0^2 x^2 dx = 8 - \frac{8}{3} = \boldsymbol{\frac{16}{3}}$

题目#

1. 求函数 $y = 1 + \ln(x+2)$ 的反函数及定义域。

2. 设 $f(x) = e^{2x} - 1$，求 $[f^{-1}(0)]'$。

3. 求分段函数 f\(x\)=\\begin\{cases\} x, \& x\<1 \\\\ x^3, \& x\\geq1 \\end\{cases\} 的反函数。

答案与解析#

1. 反函数：$y = e^{x-1} - 2$，定义域：$\mathbb{R}$ 解析：原函数定义域 $(-2,+\infty)$，严格递增，值域 $\mathbb{R}$；反解得 $x = e^{y-1} - 2$，交换符号即得。

2. 答案：$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$ 解析：令 $e^{2x}-1=0$，得 $x=0$，即 $f(0)=0$；$f'(x)=2e^{2x}$，$f'(0)=2$；故 $[f^{-1}(0)]' = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}$。

3. **反函数：f^\{\-1\}\(x\)=\\begin\{cases\} x, \& x\<1 \\\\ \\sqrt\[3\]\{x\}, \& x\\geq1 \\end\{cases\}** 解析：第一段 $x<1$ 时值域 $(-\infty,1)$，反解为 $x=y$；第二段 $x\geq1$ 时值域 $[1,+\infty)$，反解为 $x=\sqrt[3]{y}$；合并即得。

（注：部分内容可能由 AI 生成）