反函数求解全体系步骤与解题思路

类型 1：单调区间上的多项式 / 分式函数#

解法：直接代数变形反解，注意根据单调性取舍增根。 例题：求 $y = x^2,\ x\in(-\infty,0]$ 的反函数。

1. 定义域 $(-\infty,0]$，函数严格单调递减，存在反函数；

2. 值域：$x\leq0$ 时 $y=x^2\geq0$，即值域 $[0,+\infty)$；

3. 反解：由 $y=x^2$ 得 $x=\pm\sqrt{y}$，结合原定义域 $x\leq0$，取负号 $x=-\sqrt{y}$；

4. 交换得反函数：$\boldsymbol{y = -\sqrt{x}}$，定义域 $\boldsymbol{[0,+\infty)}$。

类型 2：指数 / 对数型函数#

解法：利用指数与对数的互逆性去括号，逐步分离自变量。 例题：求 $y = \frac{e^x}{e^x + 1}$ 的反函数。

1. 定义域 $\mathbb{R}$，求导得 $y'=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$，严格递增，存在反函数；

2. 值域：$y = 1-\frac{1}{e^x+1}$，$x\in\mathbb{R}$ 时 $e^x>0$，故 $0<y<1$，值域 $(0,1)$；

3. 反解： $y(e^x+1)=e^x \implies ye^x + y = e^x \implies e^x(1-y)=y \implies e^x=\frac{y}{1-y}$ 取对数得 $x = \ln\left(\frac{y}{1-y}\right)$；

4. 交换得反函数：$\boldsymbol{y = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right)}$，定义域 $\boldsymbol{(0,1)}$。

类型 3：带根号的无理函数（重点，含你提问的经典题）#

核心技巧：共轭有理化。遇到 $x+\sqrt{x^2+a^2}$ 形式，取倒数即可自动得到共轭式 $\sqrt{x^2+a^2}-x$，两式联立直接消去根号，比移项平方更简便且无增根。

经典例题（你提问的题型）：求 $y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 的反函数。

1. 定义域 $\mathbb{R}$，严格递增，存在反函数；

2. 值域 $\mathbb{R}$（$x\to\pm\infty$ 时分别趋向 $\pm\infty$）；

3. 反解： 去对数：$e^y = x + \sqrt{x^2+1}$ 取倒数有理化：$e^{-y} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1} - x$ 两式相减：$e^y - e^{-y} = 2x \implies x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

4. 交换得反函数：$\boldsymbol{y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}$（即双曲正弦函数 $\sinh x$），定义域 $\boldsymbol{\mathbb{R}}$。

考法 1：求反函数在某点的导数值（最常考）#

技巧：不用求完整反函数，利用 $f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$ 直接代值。 例题：设 $f(x) = x^3 + x$，求 $[f^{-1}(2)]'$。

1. 先找原函数中函数值为 2 的点：令 $x^3+x=2$，易得 $x=1$，即 $f(1)=2$，故 $f^{-1}(2)=1$；

2. 求原函数导数：$f'(x)=3x^2+1$，代入 $x=1$ 得 $f'(1)=4$；

3. 代入公式：$[f^{-1}(2)]' = \frac{1}{f'(1)} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}$。

考法 2：求反函数的二阶导函数#

例题：设 $y = x - \sin x$，求其反函数的二阶导数 $\frac{d^2x}{dy^2}$。

1. 一阶导数：$\frac{dy}{dx} = 1 - \cos x$，故 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1-\cos x}$；

2. 二阶导数：