1.基本定义#

• 无穷小：极限为 0 的变量（注意：无穷小是变量，不是很小的数）；

• 无穷大：绝对值无限增大的变量，极限不存在，只是记为 $\lim f(x)=\infty$。

• 关系：在同一趋势下，无穷大的倒数是无穷小；非零无穷小的倒数是无穷大。

2.无穷小的阶的比较#

设 $\alpha$、$\beta$ 是同一趋势下的无穷小，且 $\alpha \neq 0$：

• 高阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，记为 $\beta = o(\alpha)$；

• 低阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$；

• 同阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$；

• 等价无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，记为 $\alpha \sim \beta$；

• k 阶无穷小：$\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0$，称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 k 阶无穷小。

等价无穷小的核心性质#

等价无穷小是严格的等价关系，满足三条性质：

1. 自反性：$\alpha \sim \alpha$

2. 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$（极限式分子分母可颠倒，比值仍为 1）

3. 传递性：若 $\alpha \sim \beta$ 且 $\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$（可递推，所有与 $x$ 等价的一阶无穷小互相等价）

连续的定义#

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\iff \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即：

• 极限存在；

• 函数值存在；

• 极限值等于函数值。

• 同理可定义左连续、右连续。

间断点的分类#

根据左右极限是否存在，分为两大类：

1. 第一类间断点：左右极限都存在

   • 可去间断点：左右极限相等，但不等于函数值 / 函数在该点无定义；

   • 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。

2. 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

   • 无穷间断点：至少一侧极限为无穷大；

   • 振荡间断点：极限振荡不存在（如 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）。

. 闭区间连续函数的四大性质#

1. 有界性定理：闭区间上连续的函数必有界；

2. 最值定理：闭区间上连续的函数必能取到最大值和最小值；

3. 介值定理：闭区间上连续的函数，能取到介于最大值和最小值之间的一切值；

4. 零点定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi)=0$。

• 应用：常用于证明方程根的存在性，是中值定理证明题的基础。

4. 渐近线#

选择填空高频考点，分为三类，求法固定：

1. 水平渐近线 若 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$，则 $y=A$ 是水平渐近线。

   • 注：$x\to+\infty$和$x\to-\infty$要分别判断，可能有两条不同的水平渐近线。

2. 垂直渐近线 找函数的无定义点 / 分段点 $x_0$，若 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$，则 $x=x_0$ 是垂直渐近线。

3. 斜渐近线 若 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$，且 $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-ax] = b$，则 $y=ax+b$ 是斜渐近线。

   $x\to-\infty$ 同理需单独判断。

同一方向上，水平渐近线与斜渐近线不能同时存在

适用场景#

函数在该点连续时，可直接代入自变量取值计算函数值；四则运算适用于极限都存在、且分母极限不为 0 的情况。

核心规则#

若$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则：

• $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

• $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

• $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

注意#

• 无限个无穷小的和不一定是无穷小；

• 「存在 + 不存在 = 不存在」「存在 × 不存在 = 不确定」，这类结论常用于概念选择题。

第一个重要极限#

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

• 本质：无穷小的正弦与自身等价；推广形式：$\lim\limits_{\square \to 0} \frac{\sin \square}{\square} = 1$

第二个重要极限#

$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

• 推广形式：$\lim\limits_{\square \to 0} (1+\square)^{\frac{1}{\square}} = e$

1^∞型极限速算公式（考研最高频技巧）#

对$1^\infty$型幂指函数极限$\lim u(x)^{v(x)}$（满足$\lim u(x)=1$，$\lim v(x)=\infty$），有快速结论： $\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x) \cdot [u(x)-1]}$

• 推导：$u^v = e^{v\ln u}$，当$u\to1$时$\ln u = \ln(1+u-1) \sim u-1$，直接替换得到。

核心前提#

仅当 $x \to 0$ 时，以下无穷小等价关系成立；乘除因子可直接替换，加减项需满足条件再替换。

常用等价无穷小（$x \to 0$时）#

替换原则#

1. 乘除因子可无条件直接替换；

2. 加减项替换条件：若$\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，且$\lim \frac{\alpha}{\beta} \neq -1$，则$\alpha+\beta \sim \alpha'+\beta'$；若$\lim \frac{\alpha}{\beta} \neq 1$，则$\alpha-\beta \sim \alpha'-\beta'$。

   • 本质：保证替换后最低阶项不被抵消，阶数不丢失。加减场景更推荐用泰勒公式，不易出错。
   • 只看 “被替换的整体” 是否趋于 0，和自变量趋势无直接绑定；乘除放心换，加减谨慎用。

适用类型#

仅适用于$\boldsymbol{\frac{0}{0}}$型和$\boldsymbol{\frac{\infty}{\infty}}$型未定式，其他类型需先转化。

使用条件（三个缺一不可）#

1. $\lim f(x) = 0/\infty$，$\lim g(x) = 0/\infty$；

2. 在去心邻域内$f(x)$、$g(x)$可导，且$g'(x) \neq 0$；

3. $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为无穷大。

注意事项#

• 洛必达是「后验法则」：求导后极限不存在，不能推出原极限不存在；

• 数列极限不能直接用洛必达，需先转化为对应函数极限再用；

• 优先配合等价无穷小化简后再洛必达，减少计算量。

1. 麦克劳林公式（$x \to 0$，最常用）#

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$ $o(x^n)$：佩亚诺余项，高阶无穷小，极限计算只需要这个。

一般泰勒公式（不常用）（$x \to x_0$）#

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)$

展开原则#

1. 上下同阶原则：若分母是$x$的$k$次幂，分子就展开到$x$的$k$次项；

2. 幂次最低原则：$A-B$型展开到「系数不相等的最低次幂」即可。

高阶无穷小运算规则#

• $o(x^m) \pm o(x^n) = o(x^{\min(m,n)})$

• $o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$

• $x^k \cdot o(x^m) = o(x^{m+k})$

适用场景#

1. n 项和式的数列极限（各项量级差异大，某一项起主导作用）；

2. 含取整函数、绝对值、复杂分式的极限；

3. 无法凑定积分定义的 n 项和。

核心思路#

对目标式进行适当放缩，满足$y_n \le x_n \le z_n$，且$\lim y_n = \lim z_n = A$，则$\lim x_n = A$。

n 项和常用放缩技巧#

$n \cdot \min{a_1,a_2,\dots,a_n} \le \sum_{i=1}^n a_i \le n \cdot \max{a_1,a_2,\dots,a_n}$ 通常对分母进行放缩，保持分子不变。

解题三步法#

1. 证有界：用数学归纳法、均值不等式、常用不等式（如$x>0$时$e^x>1+x$、$\sin x<x$）推导上下界；

2. 证单调：

   • 作差法：判断$x_{n+1}-x_n$的符号；

   • 作商法：正项数列判断$\frac{x_{n+1}}{x_n}$与 1 的大小；

   • 导数法：递推函数$f(x)$求导，$f'(x)>0$则数列单调，$f'(x)<0$则不单调；

3. 求极限：确认极限存在后，对递推式两边取极限$\lim x_n = A$，解方程$A=f(A)$得结果。

适用场景#

n 项和式可凑成「$\frac{1}{n}$乘以关于$\frac{i}{n}$的函数」的形式，且各项量级一致。

标准公式#

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$

与夹逼准则的区分#

• 能提取$\frac{1}{n}$、剩余部分是$\frac{i}{n}$的函数 → 定积分定义；

• 无法提取公因子、项之间量级差异大 → 夹逼准则。